黎曼猜想被證明了？Michael Atiyah 的愚人節難道在 9 月嗎

今年中秋，關心學術的讀者看到最多的消息大概就是英國數學家麥可·阿蒂亞（Michael Atiyah）爵士宣布證明了黎曼猜想。如果這是真的，阿蒂亞爵士不僅可獲得克雷數學研究所懸賞的 100 萬美元獎金，更是他個人的至高榮譽和整個數學界的喜事。

然而，根據目前了解，阿蒂亞爵士極有可能是在自娛自樂逗大家玩……

黎曼函數和黎曼猜想

大家這幾天應該被動惡補了不少黎曼函數和黎曼猜想（Riemann hypothesis）的介紹了，這裡還是不厭其煩地再簡單說下。

首先有無窮級數 ζ(s)

當 s 取 1 時，就是調和級數 1+1/2+1/3+1/4+……算數意義上不收斂。s = 2 時，級數收斂於 π2/6。等等。當 s 取值為複數 s=x+iy 時，會把複平面上的點 s(x,iy) 對映到另一點 s'(x’,iy’)。注意到這個級數要求 s 的實部大於 1（x>1），否則這個級數不收斂，也就沒有熟悉的數值和結果。

▲ ζ(s) 在複平面的影像，Re(s) >1，此時影像全部分散在 Re(ρ)=1/2 線的右側。（Source：3blue1brown）

黎曼函數是 ζ(s) 在整個複平面的解析延拓，將 s 的定義域延伸到整個複平面（值得說明的是，解析延拓是一種非常強的約束。如果一個函數有解析延拓，那麼解析延拓的結果唯一。這裡 ζ(s) 的解析延拓剛好展現出彷彿對稱的樣式，而不是先做了對稱然後把它稱為解析延拓）。

▲ 黎曼函數在整個複平面的影像。（Source：3blue1brown）

黎曼提出黎曼函數時輕鬆地發現，當 s 取負偶數整數時，函數值為零，那麼 s=-2n（n 為自然數）就稱為黎曼函數的平凡零點（平凡表示沒什麼難度、很容易理解）。同時，解析延拓後的方程式帶入 s = -1，得到 1+2+3+4+… = -1/12；帶入 s = -3，得到 1+23+33+43+… = 1/120。這樣的結果並不是我們熟悉的 1+1=2 那樣的算數和，只是揭示等號左邊和右邊的式子有某種還不完全理解的聯繫。

另一些零點就沒那麼普通了（非平凡零點），它們是複數，且有耐人尋味的分散規律。黎曼在 1859 年《論小於給定數值的質數個數》論文提出 3 個命題：

命題一，認為非平凡零點都位於 Re(ρ)=0 到 Re(ρ)=1 的條狀區間內。
命題二，認為幾乎所有非平凡零點都位於 Re(ρ)=1/2 直線上，這條線也稱為臨界線。
命題三，黎曼謹慎地猜測有可能所有非平凡零點都位於 Re(ρ)=1/2 直線上。

▲ Re(ρ)=1/2 經黎曼函數變換後的曲線一部分。它彎彎曲曲無數次穿過函數值為零的點──透過影像，可以直覺猜測黎曼函數有無窮多個非平凡零點在 Re(ρ)=1/2 的直線上。（Source：3blue1brown）

大家應該還聽過黎曼函數揭示了質數的精細分散規律，限於筆者學識有限，這裡暫不介紹，有興趣的人歡迎自行 Google。

黎曼猜想證明的進度

黎曼論文發表於 1859 年，當時數學家不怎麼喜歡發論文，他們只發表自己所有研究中經過深思熟慮、有充足論據支撐的一小部分。黎曼當時也是領先時代的數學家，以致論文發表後，許多數學家連他提出的命題一和二都認為只是黎曼的單方面幻想（黎曼論文是以非常肯定的語氣提出）。由於黎曼猜想的難度之高，數學界進展速度極為遲緩，甚至有觀點認為「如果黎曼是錯的，我們的日子反倒好過一些」。論文發表 46 年後，數學界終於證明了命題一；73 年後，另一位德國數學家 Siegel 整理黎曼僅存的手稿，讓黎曼當時演算零點所用的公式重見天日（命名為 Riemann-Siegel 公式），同時震驚了數學界，因為這公式比 73 年後數學家所用的公式還要先進；數學界也更為黎曼的思想及猜想的前瞻性折服。

借著公式，後來的數學家與電腦科學家用計算方法加以驗證，已驗證了超過前 200 億個非平凡零點都在臨界線上──但數學畢竟不是經驗科學，這無法證明第三個命題正確。第二個命題（幾乎都位於臨界線上）的證明則推進到「至少有 40% 的非平凡零點在臨界線上」，就再也沒有新進展了。黎曼猜想，尤其是命題三，仍未得到證明。

▲ 一窺前 15 個非平凡零點。

回過頭來想想黎曼給出 3 個命題時的態度，對命題一、二是十分肯定的預期；而命題三，他也只敢謹慎地猜測。

160 年過去了，數學家幾乎都相信黎曼猜想是正確的，但還沒有人拿出嚴格的證明。對於黎曼猜想，數學界有兩句調侃：「如果魔鬼與一位數學家交易，允許他用靈魂交換一個命題證明，那他很大機率會選擇黎曼猜想的證明」，以及「如果 500 年後黎曼復活，他會問的第一件事就是『黎曼猜想證明了嗎？』」足見黎曼猜想的地位。實際上，數學界已有許多新理論和公式是建立在假設黎曼猜想正確的基礎上，黎曼猜想一旦證明，也是對他們的莫大鼓舞。

數學家直覺不相信阿蒂亞爵士

經過以上背景介紹，想必對黎曼猜想證明的難度已有基本理解。簡單明瞭的證明方法如果存在，之前 100 多年的數學家，包括極具遠見的黎曼本人都非常有可能直接發現。以近幾十年來證明的重要數學猜想而言，Perelman 證明 Poincare 猜想，3 篇論文用了將近 70 頁，而張益唐做孿生質數猜想的估計時也寫了將近 60 頁。

阿蒂亞爵士展現的是：一篇長度 5 頁的論文預印本，其中參考介紹 Todd 函數的論文也只有 17 頁。以及，介紹自己證明過程的演講，關於證明過程本身的投影片只有 1 頁。

▲ 阿蒂亞爵士演講用到的 1 頁投影片。

只憑證明長度，阿蒂亞爵士就受到大部分數學家的質疑。

另一點也引發懷疑的是，出生於 1929 年的阿蒂亞爵士已 89 歲高齡。縱觀整個數學史，尚無一位數學家在如此高齡做出這種等級的成果。且阿蒂亞爵士雖然證明了 Atiyah-Singer 指標定理（被譽為 20 世紀差動幾何最重要的定理）並獲得菲爾茲獎與阿貝爾獎，但一方面他是研究幾何／解析幾何的，黎曼猜想則屬於複分析與數論，是不同的數學領域；另一方面，據數學博士、前浙大物理學博士後 @賊叉回憶，「老頭在幾年前嚷嚷著自己證明了六維球面上沒有複架構最後卻不了了之」，他認為這次宣告大新聞可能仍是鬧笑話（宣告大新聞在如今數學界也不是稀罕事，前幾日奈及利亞一位數學教授也宣布證明了黎曼猜想，浙江大學一位 YinYue Sha 發表了一份 1 頁長度的黎曼猜想證明，日本數學教授望月新一宣告證明 ABC 猜想直到現在也尚未令人信服）。

這不是一份嚴謹的證明

除了直覺對「阿蒂亞爵士證明了黎曼猜想」的質疑，針對證明過程本身合理性的質疑也已出現──這才是真正致命。

根據 @賊叉介紹，閱讀 5 頁預印本及 17 頁介紹 Todd 函數的參考論文後，他表示：

事實上，老頭證明的關鍵就是在於使用他稱之為弱解析函數的 Todd 函數。

我們 follow 了他參考文獻的第二篇論文：《THE FINE STRUCTURE CONSTANT》，粗粗讀完論文之後，我感覺：

這哪是論文啊，就是一部數學史啊！

整整 17 頁論文中，涉及 Todd 對映的核心內容在 3.4。從 Todd 對映的構造來看，這是一個從複數到複數的對映，且是高度的非線性對映。

他給了希爾伯特空間的 Clifford 代數無限張量積的弱閉包，這個弱閉包取自兩個希爾伯特空間的張量積。這個希爾伯特空間的 Clifford 代數跡誘導出閉包上的跡，這個閉包的中心透過兩個同構對映的複合能和複數域同構，這樣就完成了 Todd 對映的構造。

後面又介紹了 Todd 多項式的構造。

但是怎麼利用 Todd 對映和 Todd 多項式呢？

反正我是沒找到。

看到前面這一堆術語，估計有人想打我了，打個比方吧。

理論上青銅能做工藝品，你給我做個后母戊方鼎。

工具？略

怎麼做？略

……

老頭大概就是玩了這種把戲。

他把為什麼 Todd 對映能用於黎曼猜想的證明給……略過了，我只能表示哭笑不得。

數學是一門極注重嚴謹性的學科，推理過程每一步都要有嚴謹的證明，尤其越重要的地方越無法略過。在 @賊叉看來，這個證明九成九不行……

另一位科學鬆鼠會的 @科普君XueShu 也給了意見。根據他的解讀，阿蒂亞爵士假定提出的弱解析函數 Todd 函數的某種極限，等同於物理學精細架構常數 α 的倒數，相當於嘗試用這說明光速、單個電子攜帶電荷數量、普朗克常數之間關係的物理學常數的取值，解釋複解析函數的非平凡零點的存在規律。雖然精細架構常數 α 確實有奇妙性質，比如的取值不依賴基本單位大小的選擇，目前也沒有找到對它的取值 1/137.03599913 的夠好理論解釋，另一方面之前也在其他問題有物理學方法和純數學方法取得聯繫的例子，但這種跨領域的強加聯繫，未免帶來一種「用量子糾纏得出小孩感冒了可以針灸扎他媽媽」的科普感。

@科普君XueShu 還補充：

（精細物理常數）20 世紀剛發現時，很多物理學家都想從數學角度解釋和推導，但後來種種證據表明這個想法完全不靠譜，早被扔進歷史的垃圾堆，雖然目前依然是民科放飛自我的重災區。

沒想到這次又被 Atiyah 翻出來了，還當作著名數學猜想證明的重要基礎。

其實這倒不奇怪，因為 Atiyah 本人是晚年才開始學習物理，他的物理直覺頗臭名昭彰。他經常突發奇想自以為發現解決某個物理學問題的關鍵，從物理學家的角度看，跟網路常見的科普言論沒什麼差別，但凡有點物理學素養的人都能看出其中的荒謬。不過他的學生，著名理論物理學家兼數學家愛德華‧威騰，倒是每次都細心列出一堆理由告訴老師為什麼這些想法行不通，每條理由都直擊要害，奈何 Atiyah 至今仍執迷不悟。

「數學大帝」丘成桐今天也在「數理人文」公眾號發文表示：「我問過一批專家，大家都說這篇文章沒有提供一般數學家要求的嚴格性定理證明……阿蒂亞教授的論點極為牽強，看不到物理或數學上的意義……有時候不完備的證明也會帶有啟發能力，但是我還沒有看到這篇文章的啟發能力。」