數學界天翻地覆，代數幾何 87 年懸案「雅可比猜想」遭 Claude 證偽

這一天，數學界發生驚天動地大事，無數頂尖學者 87 年來都無法證明正確性的代數幾何難題「雅可比猜想」——不用證明了，這個猜想本身就是錯誤，證偽主角甚至還是 AI 模型 Claude Fable 5。

2026 年 7 月 19 日，世界盃足球賽接近尾聲之際，Anthropic 員工暨數學家萊文特·阿爾波格（Levent Alpöge）在社群軟體隨手寫下一句話與一段簡潔數學公式，沒有大篇長論、沒有發表論文，就那樣輕描淡寫指出 Anthropic 大型語言模型 Claude Fable 5 發現「雅可比猜想（Jacobian conjecture）」在三維空間的明確反例（推翻該猜想 N>2 的情況），一夜之間超過 2,000 萬次瀏覽。

hello there the jacobian conjecture is false thanx to my close friend akhil for asking about it and my other close friend fable for working during the world cup final

((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2 z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x – 3 x^2 y – x^3 z): \C^3\to \C^3,…

— levent (@__alpoge__) July 20, 2026

這條消息為何如此驚人？簡單說，該反例讓 87 年來試圖證明雅可比猜想正確性的頂尖數學家們淪為笑話。

雅可比猜想是德國數學家奧特-海因里希·凱勒（Ott-Heinrich Keller ）於 1939 年提出的代數幾何核心難題，主張如果一個多元多項式映射的雅可比行列式始終為非零常數，則該映射整體上是否一定可逆（存在多項式反函數）？

微積分反函數定理告訴我們，如果一個函數在某一點的雅可比行列式不為零，那麼該函數在該點附近就具有一個局部反函數，因此我們對雅可比猜想的直覺認知是「對」。

更白話一點來說，想像有個規則可以把空間任何一點變到另一個點（也就是映射），而雅可比猜想主張只要「局部不塌陷」特性（即雅可比行列式始終為非零常數）在整個空間、每一點都成立，那麼映射全域變換一定可逆，每一個輸出點都應恰好對應一個輸入點，你永遠能唯一反推——每個終點都只對應一個起點。

然而這道題目陷阱特別多， 87 年來一直沒人可完整證明雅可比猜想對或錯，歷史上已發表過的「證明雅可比猜想」論文數量極其龐大，最終都被發現存在細微漏洞，雅可比猜想因此被列入 21 世紀 18 大數學難題清單，更被戲稱為數學證明界吸血鬼，吸乾無數聰明、才華洋溢的年輕數學家精力。

現在這條數學界公認異常難證明的問題，突然就被 Levent Alpoge 和 AI 模型 Claude Fable 5 推翻了。

Claude Fable 5 直接拋出一個簡潔優雅的反例：

設多元多項式函數 F：C³→C³ 為：

F(x,y,z) =（(1+xy)³z+y²(1+xy)(4+3xy), y+3x(1+xy)²z+3xy²(4+3xy), 2x−3x²y−x³z ），可驗證此多項式映射的雅可比行列式恆等於 -2（非零常數，滿足猜想前提），然而這個函數不是單射，它能將空間中 3 個完全不同的點：（0, 0, -1/4）、（1, -3/2, 13/2）、（-1, 3/2, 13/2）全映射至同一影像點：（-1/4, 0, 0），因此函數 F 不存在反函數，根本不可逆。

簡單講，該反例滿足「局部不塌陷」條件，卻能找到 3 個不同起點全映射到同一終點，「唯一反推」無法成立（沒辦法從這個終點唯一反推回起點），廣義雅可比猜想就這樣被徹底證偽。

不久之後，GPT-5.6 跟進分析此結果並提出全新修正的猜想；OpenAI 員工也使用內部 Codex 獨立推導出類似反例。