數學家和藝術家都讚歎不已,神奇圈圈「莫比烏斯環」

作者 | 發布日期 2018 年 11 月 18 日 12:00 | 分類 科技教育 , 科技趣聞 , 自然科學 follow us in feedly

好的,現在拿起一條紙條、左右手各拿著紙條的一端,然後將這個紙條轉半圈(180 度)後,再將兩端貼起來──恭喜你將得到一條讓數學家和藝術家讚歎不已的莫比烏斯環。點擊這裡可以試玩 3D 的莫比烏斯環結構。



可以一筆畫完每一面

如果沿著環狀紙條畫一整圈,不論是畫在紙條的外面或裡面,我們都只能畫在其中一個面上;然而,如果此時你的手上有一個莫比烏斯環(Möbius strip 或 Möbius band),那麼當你從莫比烏斯環的任何一點開始畫線時,你就會發現自己能一筆畫盡莫比烏斯環的每一面。覺得意猶未盡嗎?那現在把你的手放在莫比烏斯環的邊線沿著繞,有沒有發現整個莫比烏斯環的邊線就被你「一手」繞完了呢?

只有一個面和一條邊

換句話說,莫比烏斯環因為可以用一筆畫完每一個面、用一根手指頭繞完整個邊線,讓它在數學上被視為只有一個面和一條邊的立體圖形。

▲ 他是德國數學家暨天文學家莫比烏斯,「莫比烏斯環」就是以他的名字命名的。(Source:維基百科

沒有上/下、內/外之分

莫比烏斯環是由數學家莫比烏斯(August Möbius)在 1858 年發現的,當時莫比烏斯正在研究多面體(polyhedra)時,意外發現了這種只有一個面、一條邊的立體幾何形狀,而幫這種形狀取了和自己一樣的名字。

莫比烏斯環只有一個面、一條邊,這讓莫比烏斯環看起來是立體的,但沒有人能夠定義出哪一面是莫比烏斯環的「上面」,哪一面是「下面」,或哪一面是「外面」和「裡面」,因為它只有一個面!

▲ 從這個動畫中,螃蟹沿著莫比烏斯環的表面上繞完一圈後,還會回到同一個點。但如果仔細觀察螃蟹蟹螯的位置,會發現這隻螃蟹繞完一圈後,蟹螯的位置左右相反。這也是莫比烏斯環其中一個特色──如果沿著表面繞單數圈,其實和原本的位置左右顛倒上下相反,就像在照鏡子。(Source:Hamishtodd1 [CC BY-SA 4.0], from Wikimedia Commons

▲ 你有看出這個回收標誌,其實是莫比烏斯環的變形嗎?(Source:Flickr/Bill Smith CC BY 2.0)

藝術家也感興趣

「莫比烏斯環只有一個面」的性質,除了數學家們很感興趣之外,也吸引了不少藝術家的注意。荷蘭平面設計師艾雪(M.C. Escher)就曾經以莫比烏斯環為題材,創作出《莫比烏斯環一》(Möbius Strip I)和《莫比烏斯環二》(Möbius Strip II)這兩件木雕作品。

▲ 這就是荷蘭平面設計師艾雪在 1963 年創作的《莫比烏斯環二》──莫比烏斯環上的螞蟻。(Source:M.C. Escher

▲ 這是以荷蘭平面設計師艾雪在 1963 年創作的《莫比烏斯環二》為構想,製作而成的動畫。看完影片後,再回去看上面的圖,是不是覺得莫比烏斯環上的螞蟻們很像在動呢?

▲ 這是一個莫比烏斯環,如果我們沿著莫比烏斯環的中線(紅色區域和白色區域交界)剖開後⋯⋯

▲ 就會得到像上圖這樣「在左下和右下角各有 1 個圈圈」的 1 個紙環,而不會被切成 2 個紙環。

如果把莫比烏斯環剪開⋯⋯

莫比烏斯環在幾何上的性質還不只如此。如同最一開始所說的,我們可以拿出一支筆,一筆畫完莫比烏斯環的每一面,那如果換成一把剪刀沿著莫比烏斯環的中線剪開呢?

如果是一般的紙環沿著中線剪開後,我們就會得到 2 個一樣大、但寬度比原本還要細的紙環。

但如果是沿著莫比烏斯環中線剪開,這時候我們只會得到 1 個長度加倍、寬度變一半的紙環,而且這個紙環還有 2 個小圈圈──也就是說,沿著莫比烏斯環的中線剪開後,它仍然是一個紙環。

▲ 這是另一個莫比烏斯環,這次將莫比烏斯環分成 3 個區域,中間是白色的,兩端則塗成藍色和綠色。當我們沿著莫比烏斯環白色區域和塗色區域的交界,將莫比烏斯環分成 3 等分後⋯⋯

▲ 你看出來了嗎?在剪開前莫比烏斯環中間的白色區域,在剪開之後還是一個完整的莫比烏斯環,而塗色區域就和剛才將一個莫比烏斯環剖成兩半的結果一樣。

進階題:把莫比烏斯環橫切兩刀⋯⋯

沿著莫比烏斯環的中線橫切一刀,我們會得到「帶有 2 個小圈圈的 1 個紙環」。如果將一個莫比烏斯環「剖腹」橫切兩刀呢?

答案是,你變出一個「帶有 2 個小圈圈的一個紙環」和另一個紙環套在一起的樣子。也就是說,平常剖腹切兩刀會變成 3 個的環形紙條,換成是莫比烏斯環還是會少一個!

莫比烏斯環也能切貝果

數學家鄭樂雋(Eugenia Cheng)在這支影片中示範了,如果在貝果切出一個莫比烏斯環,最後得出的貝果不會上下分成兩半。以後如果需要在貝果中間塗上果醬或奶油時,使用這種切法就能讓貝果和果醬(或奶油)夾得密合,就不會滑開囉!

(本文由 地球圖輯隊 授權轉載;首圖來源:David Benbennick [GFDLCC-BY-SA-3.0 or CC BY-SA 2.0], from Wikimedia Commons