他的「髮絲步」撞破數學界的「質數牆」 華人數學家張益唐破解百年數學謎題 

作者 | 發布日期 2013 年 06 月 28 日 10:02 | 分類 科技教育
Yitang-Zhang

本篇文章在一些數學的表達上詢問過張益唐博士的意見。

在有關質數研究的最新結果還未公諸於世之前,數學界幾乎沒有人認識這位來自中國、沒有任何背景靠山的數學講師──張益唐,而他的這篇文章「Bounded gaps between primes」〈質數之間的有界距離〉,已被全球最具權威的數學期刊 Annals of Mathematics 接受並即將刊出,一夕之間洛陽紙貴,在數學圈裡引起不小的轟動。至於這位有著普度大學數學博士頭銜,卻一度找不到教職的數學家卻謙遜地表示:我幸運地突破了髮絲般的距離



髮絲般的距離,從 2000 年前談起

到底「髮絲般的距離」是什麼?這就要從兩千多年前談起,當時的古希臘數學家歐幾里德(Euclid),首先證明質數在自然數中有無窮多個(質數是指正因數只有 1 和本身的正整數)。但「無窮多個」這個答案並不能完全滿足數學家的好奇心,他們希望知道質數的分布情形,到底質數在整個自然數中是隨機出現,還是具有一定的規律?如果質數之間的距離是隨機的,那麼出現無窮對、距離為某個數值的質數就不是那麼自然的事了。

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有上過國中數學的人都知道,隨著數值的變大,質數出現的次數也越來越少,比方說在 10 以內的質數有 2、3、5、7 共四個,占了40%,而 100 以內的質數有 25 個,占 25%,至於 100 萬以內的質數只占了 7.85%,顯然質數的分布是越來越稀疏,同時質數之間的平均距離也越來越遠,而這個現象由黎曼發現,在 20 世紀初被證明。因此數學家就產生了疑問,當質數越大,它跟下一個質數的差距也是越來越大,那是否存在一個值 M,使得差距為 M 的相鄰質數有無限多個。

在還未解開這個疑問前,他們找到幾組例子,其中一個就是有無窮多組的孿生質數存在。孿生質數就是兩個相鄰且相差 2 的質數,例如 3 和 5,17 和 19,目前發現最大的孿生質數為 2,003,663,613 × 2195,000 − 1 和2,003,663,613 × 2195,000 + 1,而這個例外就衍伸出著名的孿生質數猜想(twin primes conjecture):是否存在無窮多相差 2 的相鄰質數。

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從無窮大到 7000 萬

至於張益唐的論文就是證明了孿生質數猜想的弱化形式,他發現無論我們找再大的質數,無論相鄰質數變得有多稀少,一定找的到差小於 7,000 萬的相鄰質數,換句話說也就是無窮多對的相鄰質數,其間之差小於 7,000 萬。而他所稱「髮絲般的距離」,其實就是從無窮大推進到 7,000 萬的距離。

雖然張益唐的論文未能解決孿生質數猜想,對於一般大眾來說,從 7,000 萬到 2 似乎仍像一道鴻溝難以跨越,但在數學家的眼中,這可是一項了不得的成就,美國數學家戈德菲爾( Dorian Goldfeld)就評論說:「從 7,000 萬到 2 的距離,相比於從無窮到 7,000 萬的距離,是非常微不足道的」。這位曾被忽略的數學家張益唐,以他謙稱的「一小步」,帶領數學界在質數領域跨出「一大步」。

自從他的研究在 5 月中被公開,孿生質數外圍那道最難以攻克的牆,應聲倒塌,數學家蜂擁似的朝孿生質數接近。根據 PolyMath 最新公布的結果,目前相鄰質數的差值(Bounded gaps between primes),已逼近到 10,000。

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質數與密碼演算法

或許有人會好奇的問「了解質數的分布與我們生活有什麼相關」,最為相關就是密碼演算法。現今許多演算法,都是從質因數分解(integer factorization)與離散對數(discrete logarithms)計算而來。例如公開金鑰加密法(Public-key cryptography),就是隨機產生兩個位數很大的質數,再相乘產生暗文完成加密動作,若對方沒有私密金鑰,很難用質因數分解法破解訊息產生明文。

但如果能找出質數的規律,並且能計算出來,兩個質數的乘積就容易反向推導解出來,那原本以暴力破解法需花費一生才能解開的密碼,就能輕易用規則找出加密用的多位數質數。

張益唐目前在新罕布夏州大學(University of New Hampshire)擔任數學和統計系講師,相較於同輩的數學家,他的學術生涯並不順遂,博士班畢業後一度找不到教職,還曾做過會計師,甚至在 Subway 這個知名的連鎖三明治店工作。雖然在如此艱難的環境,他卻始終沒有放棄思考和鑽研熱愛的數學問題,他稱這個發現是長期研究的積累,一旦有機遇,就成功地突破難題,找到別人沒有想到的特別突破口。而這也是一種運氣。

附註:

我們去信詢問了張益唐博士,他指出「不管任何的、多大的相鄰質數,一定找的到差距小於 7,000 萬的相鄰質數」表達方式較貼近他的結論,也就是說差距數列中小於七千萬的個數有無限多個。

另外也詢問一些數學專業人士,他們提供了更正確的說法:「給定任何正整數 M,一定找得到相鄰質數 P Q皆大於 M,使得 P 跟 Q 的差距小於七千萬。」

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