數學界最大的謎團:日本數學家望月新一的論文與無法測透的證明

作者 | 發布日期 2015 年 12 月 22 日 18:31 | 分類 科技教育 , 精選 follow us in feedly
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當有數學家宣稱解開了某一知名的猜想,卻沒有人能解讀,那數學界該怎麼反應?任職於京都大學的數學家望月新一(Shinichi Mochizuki),在 2012 年於其個人網站刊登出四篇論文,共五百多頁,宣稱已證明數論中很重要卻未被證實的猜想「ABC 猜想」(ABC conjecture)。但從論文發表至今,每個曾嘗試解讀此證明的數學同行,在經過一段時間的努力後,都只能絕望的放棄。



數學界在過去幾十年中,曾出現幾件轟動一時的大新聞。1994 年,懸宕近三百年的費馬最後定理被英國數學家懷爾斯(Andrew John Wiles)解開,2003 年,龐加萊猜想由俄羅斯隱士數學家裴瑞爾曼(Grigori Yakovlevich Perelman)所破解,而最為大眾所熟知的是在2013年,當時仍名不見經傳的華人數學家張益唐,證明存在無窮多對質數距離都小於 7000 萬。望月新一在幾年前提出 ABC 猜想的證明時,也讓數學界震撼不已,許多國際知名媒體都曾大幅報導。

 

ABC 猜想與其意義

ABC 猜想是在 1980 年代分別由兩位數學家分別提出,它的內容其實不難理解。假設有三個正整數 a、b、c,滿足 a+b=c,三數互質(沒有大於 1 的公因數)。令 d 為 a、b、c 三數的質因數乘積,那 d 通常會比 c 大。舉例來說,a=3,b=7,c=3+7=10,a、b、c 三數互質,d=3×7×2×5=210,d>c。

ABC 猜想為何如此重要,主要有兩個原因。一是從直覺來說,a 和 b 的質因數與兩者加總的質因數應該沒有任何關係,但此猜想卻將它們連在一起,意味著如果 a 和 b 能被許多數值較小的質數分解,那能分解 c 的質數將很少且較大。往前推一步,如果 ABC 猜想被證明是正確的,將顛覆我們一般認知──在加法和乘法的代數交互上,會產生無限可能和不可解問題,換句話說,在加法、乘法和質數之間,一定存在人類未曾觸及過的某種關聯。

另一個原因是 ABC 猜想能證實許多知名且尚未解決的難題,例如費馬最後定理的推廣猜想、Mordell 猜想、Erdős–Woods 猜想等。此外 ABC 猜想還能間接推導並簡化很多已被證明的重要定理,比如懷爾斯用幾百頁的篇幅證明了費馬最後定理,但如果 ABC 猜想被證明,那麼要證明費馬最後定理只需一頁的篇幅。ABC 猜想在數論的應用非常廣,甚至可以衍生證明超過二十個定理。

 

令數學界困惑的論文

望月新一自小是天才兒童,16 歲就讀美國普林斯頓大學數學系,19 歲畢業,22 歲拿到數學博士學位。他在二十幾歲時就在遠阿貝爾幾何(Anabelian geometry)領域做出重大貢獻,還被邀請到四年一度的國際數學家大會上演講。但在 1988 年他突然消失於數學界,潛心研究 ABC 猜想,他所使用的數學工具,正是遠阿貝爾幾何。在苦心研究二十幾年後,望月以自己獨創的「宇宙際Teichmüller」(Inter-Universal Teichmüller)理論,證明出 ABC 猜想。

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▲ 望月新一教授。(Source:Naver

但當數學界興致勃勃的想要解讀望月的論文,卻發現裡面的所有公式就像來自未來的產物,整篇論文就像天書一樣,所有的概念與定義都無法連結到現有的語言或技術;再加上作者一些古怪的堅持,不想在大眾面前發表、不想到處旅行解釋他的發現等。種種的一切讓這份論文越難被解讀。

有鑑於過去望月在數學領域非常細膩與傑出的研究,數學界並沒有將它束之高閣,或乾脆視它為「不可能成功」的證明,而是為此舉辦會議,招聚當今世界頂尖的數學家共同討論。由克雷數學研究所(Clay Mathematics Institute)與牛津大學數學研究所共同資助的研討會,雖然望月沒有與會,卻有許多優秀的理論學家或算數幾何學家參與其中,但會議宗旨並非去證明望月的論文是對的,而是去裝備這群人,讓他們有足夠的背景知識來閱讀望月的論文。

「但會議的結果卻令人感到挫折」,參與其中的佛羅里達大學數學教授 Knudson 指出。特別是在會議最後兩天,底下的聽眾一再要求提出說明性例子,講者卻只能再次保證那不知何時能兌現的諾言。Knudson 認為,對於探索望月論文中的未知世界,數學家看起來沒有多少耐心,但或許還是能激發出一些人想要更深入挖掘的動力。

根據望月自己的說法,要讀懂他的論文,數學所研究生需要花 10 年左右的時間,英國諾丁漢大學數論學家 Fesenko 則表示,就算是學有專精的算數幾何學家,也要花上 500 小時才能看懂。而到目前為止,全世界只有四位數學家表示能完全讀懂所有的證明。

 

孤寂的天才

望月可說是孤寂的天才。熟識他的人說,望月並非天生性格內向,但他非常專注於自己的數學研究中。這對許多成名甚早,往後卻因過多的榮耀與邀約,而失去通透心靈的數學家而言,望月能在人生達到第一次學術高峰時,斷然遠離會令其分心的學界,追求研究上的卓越,可說是相當不容易。或許他明白要遠離人群,獨自在數學理論中遨遊,才有機會更上層樓,解開宇宙中最深邃難解的謎題。

但可惜的是,望月卻忽略一件事,他忘記偉大的研究是需要讓眾人理解,也需要花費心思去解釋,否則只會讓一切的努力枉然,也將想要更進一步認識他的人阻擋於牆外。就如同牛津大學教授 Minhyong Kim 對望月的行事作風所下的評論:「當沉浸在自己的理論世界太久,會察覺不到他人所發出的困惑,因為你先入為主地假設了所有人都明白很多基礎知識。」

(首圖來源:Flickr/Tom Brown CC BY 2.0)

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