一條改良的經典物理數學公式，搭起通向量子物理世界橋樑

當你把球丟向空中，經典物理方程式能告訴你球下落路徑、何時落地，但當同一顆球被壓縮至原子大小，其行為將超出經典物理預測。但經典物理與量子力學真的井水不犯河水？麻省理工學院團隊最近發現，原本只能透過量子力學方程式理解的神秘現象，其實也可以利用日常經典物理學的數學思想描述。

經典物理學、量子物理學就像兩套不相通的語言，假設丟出一顆棒球，你可以用牛頓定律精準算出棒球飛行路線與落點，這個「經典世界」的規則明確可預測。

但在微觀量子世界，棒球縮至原子大小後表現出各種「反直覺」怪異行為（如同時出現在 2 個地方、穿牆而過），量子世界由薛丁格方程式統治，講求「機率」及波函數。

科學家認為這兩套物理系統的數學算法無法完美互通，直到最近麻省理工學院團隊發表一條新經典公式，表明我們能透過經典物理學的最小作用量（least action）概念計算量子物體運動，描述量子、亞原子尺度發生的非直觀行為，在許多量子力學場景（雙縫實驗、量子隧道效應）得出與薛丁格方程式（Schrödinger equation）完全相同的解。

本質上來講，研究人員在經典物理與量子物理之間建立一座精確的數學橋樑。

改良經典物理公式求出量子物理解

物體運動的最小作用量在經典力學以哈密頓-雅可比方程式描述，用最白話方式解釋就是自然法則很「懶」，當一顆球從 A 飛到 B，理論上有無限條路線，但球永遠只會選擇能量消耗結果最「划算」的路走（也就是使作用量最小的路徑）。

研究人員靈機一動，如果稍微修改一下最小作用量公式，是否也能拿來計算量子行為？

解題關鍵在於加入「密度」與「多重路徑」。「密度」本質上代表某條路徑被採用的機率，想像雙縫實驗是將水柱射向牆壁，大部分水落在中心，一些水珠往兩側流去，中心水密度最高，因此沿路徑找到水滴機率也高，且存在能計算的分布範圍；「多重路徑」則是讓經典物理學在數學上接受一個物體可同時走多條「最划算」路徑。

新公式計算結果相當驚人，研究人員只需計算光子穿過 2 個縫隙的 2 條經典路徑（而不是無限多條），再配上密度計算，得出結果竟跟描述量子力學行為的核心「薛丁格方程式」一模一樣。

此外，團隊還用這套改良版公式成功預測算出其他量子現象，包括：量子穿隧效應（Quantum tunneling）、從行星經典軌道推導出氫原子電子的精確量子波，還重新解釋著名的 EPR 弔詭（Einstein-Podolsky-Rosen paradox）。

一套數學，兩個物理世界

研究人員強調，新公式並非說量子現象發生在經典尺度，純粹是數學突破，證明我們可用一套簡單共通的數學工具描述宏觀和微觀世界，讓量子運算過程變更簡單，未來工程師開發量子電腦或量子設備時，不一定要依賴極複雜量子近似演算法，而是能用相對簡單的經典物理數學精準預測量子結果。

也許最令人期待的是，這座連接經典力學與量子力學的「數學橋樑」，未來可能幫助物理學家解決世紀難題——統一量子力學與愛因斯坦廣義相對論。

新論文發表在《Proceedings of the Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Science》期刊。

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（首圖來源：AI 生成）