質數並不隨機?科學家發現質數與某些準晶體原子排列模式驚人相似

作者 | 發布日期 2018 年 09 月 11 日 20:54 | 分類 科技教育 follow us in feedly

質數(prime)是數學界的謎團之一,儘管過去數學家已發現許多驗證質數的方法,但一直以來都無法透過規律準確預測。近期普林斯頓大學(Princeton University)研究人員一項新分析發現,質數的模式與準晶體(quasicrystal)材料內部原子排列模式非常類似,未來或許有望以新方式讓質數的預測更加精確。



自古希臘以來,數學家對質數的研究就從未中斷,儘管數學家已研究出一些質數的順序規律,但隨著數字延伸,質數也就分布得更零散,這種難以推導的性質也就讓大質數成為許多密碼系統的組成結構。

但近期普林斯頓大學的新研究發現,質數或許並不像人們原先所想的如此隨機分布。研究人員發現質數序列中很長一段數字,與準晶體材料在 X 射線下顯示的內部原子排列模式有驚人的相似度。

普林斯頓大學自然科學教授 Salvatore Torquato 指出,質數的分布與「準晶體」材料非常相似,特別是從大範圍數列來看,質數遠比過去人們所想的更規律,屬於「超齊構體」(hyperuniformity)模式。

所謂的超齊構體,指的便是看似無序、實則極為均勻有序的排列模式,包含晶體、準晶體和一些特殊無序系統都是屬於超齊構體的材料,過去科學家曾在鳥類眼睛的錐細胞、某些稀有隕石和宇宙大規模結構都發現超齊構體的存在。

回過頭來說,團隊究竟是如何發現質數與「準晶體」原子排列的相似性?根據 2 月發表於《Physics A》期刊的研究,團隊是用電腦將質數模擬為與 X 射線相互作用的一串原子後,才發現這種強烈相符的模式跡象。

X 射線晶體學中,使用 X 射線照射晶體會產生可預測的亮點或峰值模式,也就是所謂的布拉格峰(Bragg peaks)。典型晶體中,布拉格峰會以規律的間隔形成,兩峰之間有空隙,相較之下,準晶體產生的布拉格峰則更獨特且排列複雜,任何兩個選定的峰值間都有另一個峰。

而 Torquato 和團隊在質數中發現的模式,則與準晶體和另一個稱為「限定週期」(limit-periodic)序列的系統非常相似,由於仍存在一些差異,因此團隊將其稱之為「有效限定週期」(effectively limit-periodic)。

▲ 團隊將質數(第一列黑點)模擬為原子後發現,與某些類晶體材料的原子排列模式十分相似。質數出現在「自相似」分組,也就是某些高度峰值之間存在的較小峰值部分。

透過近期數論研究,團隊也為 2 月的模擬實驗提供了強力的理論基礎。研究人員體會到,儘管質數在短範圍呈現隨機性,但只要把數列拉到夠大範圍,看似雜亂的數字也能發現一定規律的端倪。

「當到達那個臨界點時,砰!有序的結構就出現了。」

將近一個世紀以前,數學家運用類似的數字模式,發展出圓法(circle method)來尋找質數的數列模式,而一個世紀以後的現今,科學家終於摸索出一條道路,隱隱約約指向解開質數的謎團。

在 Torquato 看來,質數有漂亮的結構特性,包含難以預期的順序、超均勻性及有效限定週期行為,他認為質數教會人們的,是全新的物質狀態。

而對共同作者 Matthew de Courcy-Ireland 來說,最有趣的還是把這些研究結果帶回 1922 年當時,並以某種方式重新解讀它們。「你會得到一個全新的例子、一個有許多屬性的有趣系統,還有一個或能指引我們找到更多物理實例的方向。」

未參與研究的微軟研究院首席研究員 Henry Cohn 則認為,這項研究最令人著迷的還是帶給人們對「質數」的不同觀點:不視為數字、而將其視為粒子,就能透過 X 射線來繪製它們的結構,「這開啟了材料科學和散射理論的新聯繫。」

論文已刊登在《統計力學:理論與實驗》(Statistical Mechanics: Theory and Experiment)期刊。

(圖片來源:Kyle McKernan, Office of Communications

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